Lexikon: Mathematik

 

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Die Mathematik (griechische Sprache|altgr. μαθηματικη, von mathaematikae – , Lernen) ist aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstanden. Heute versteht man Mathematik ganz allgemein als eine Wissenschaft, die selbstgeschaffene Abstraktion|abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht. Image:Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png|thumb|right|220px|Der ägyptische Rhind-Papyrus

Inhalte und Teilgebiete

Die folgende Aufzählung gibt einen ersten chronologischen Überblick über die Breite mathematischer Themen (siehe auch: Teilgebiete der Mathematik, Geschichte der Mathematik sowie das Portal Mathematik):

  • das Rechnen mit Zahlen (Arithmetik),
  • die Untersuchung von Figuren ( – vorklassische Hochkulturen, Euklid),
  • das Auflösen von Gleichungen (Algebra – Tartaglia, und Renaissance),
  • Untersuchungen zur Teilbarkeit (Zahlentheorie – Euklid, Diophant von Alexandrien|Diophant, Fermat, Leonhard Euler, Bernhard Riemann|Riemann),
  • das rechnerische Erfassen räumlicher Beziehungen (Analytische Geometrie – René Descartes|Descartes, 17. Jahrhundert),
  • das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (Stochastik – Blaise Pascal|Pascal, Jakob Bernoulli, Pierre-Simon Laplace|Laplace, 17.–19. Jahrhundert),
  • die Untersuchung von Funktionen, insbesondere deren Wachstum, Krümmung, dem Verhalten im Unendlichen und der Flächeninhalte unter den Kurven (Analysis – Isaac Newton|Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz, Ende des 17. Jahrhunderts),
  • die Beschreibung alischer Feldtheorie|Felder (Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis – Leonhard Euler, die Bernoullis, Laplace, Carl Friedrich Gauß|Gauß, Siméon Denis Poisson|Poisson, Fourier, George Green|Green, George Gabriel Stokes|Stokes, David Hilbert|Hilbert, 18. Jahrhundert|18.–19. Jahrhundert),
  • die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung komplexe Zahlen|komplexer Zahlen (Funktionentheorie – Carl Friedrich Gauß|Gauß, Cauchy, Karl Weierstraß|Weierstraß, 19. Jahrhundert),
  • die Vermessung gekrümmter Flächen und Räume (Differentialgeometrie – Carl Friedrich Gauß|Gauß, Bernhard Riemann|Riemann, Tullio Levi-Civita|Levi-Civita, 19. Jahrhundert),
  • das systematische Studium von Symmetrien (Gruppentheorie - Evariste Galois|Galois, Niels Henrik Abel|Abel, Felix Klein|Klein, Sophus Lie|Lie, 19. Jahrhundert),
  • die Aufklärung von Paradoxien des Unendlichen (Mengenlehre - Georg Cantor|Cantor, Gottlob Frege|Frege, Bertrand Russell|Russell, Ernst Zermelo|Zermelo, Abraham Adolf Fraenkel|Fraenkel, Anfang des 20. Jahrhunderts),
  • die Untersuchung von Strukturen und Theorien (Kategorientheorie).

Etwas abseits steht in dieser Aufzählung die Numerische Mathematik, die für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche Algorithmus|Algorithmen zur Lösung bereitstellt und diese untersucht.

Kategorisierung der Mathematik

Image:Gregor Reisch, Margarita Philosophica, 1508 (1230x1615).png|thumb|left|180px|[[Gregor Reisch, Margarita Philosophica (1508)]] Über die Frage, zu welcher Kategorie der Wissenschaften die Mathematik gehört, wird seit langer Zeit kontrovers diskutiert. Im englischen und französischen Sprachraum wird Mathematik lediglich als Science eingestuft, eine weitere Differenzierung erfolgt dort in der Regel nicht.

Viele mathematische Fragestellungen und Begriffe sind durch die Natur betreffende Fragen motiviert, beispielsweise aus der oder den Ingenieurwissenschaften, und die Mathematik wird als Hilfswissenschaft in nahezu allen Naturwissenschaften herangezogen. Jedoch ist sie selbst keine Naturwissenschaft im eigentlichen Sinne, da ihre Aussagen nicht von Experimenten oder Beobachtungen abhängen. Meistens gehört die Mathematik an deutschen Universitäten aber zur selben Fakultät (Hochschule)|Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion (Doktor)|Promotion in der Regel der akademischer Grad|akademische Grad eines Dr. rer. nat. verliehen.

Die Mathematik hat methodische und inhaltliche Gemeinsamkeiten mit der Philosophie; beispielsweise ist die Logik ein Überschneidungsbereich der beiden Wissenschaften. Damit könnte man die Mathematik zu den Geisteswissenschaften im weiteren Sinne rechnen, aber auch die Einordnung der Philosophie ist umstritten.

Auch aus diesen Gründen wurden die Kategorien der Strukturwissenschaften bzw. Formalwissenschaften eingeführt, neben der Mathematik wird - von den Befürwortern dieser Kategorien - beispielsweise die Informatik dazu gezählt.

Sonderrolle unter den Wissenschaften

Image:Galileo Galilei, Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze, 1638 (1400x1400).png|thumb|right|160px|[[Galileo Galilei: Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze (1638)]] Eine Sonderrolle unter den Wissenschaften nimmt die Mathematik bezüglich der Gültigkeit ihrer Erkenntnisse ein. Während beispielsweise alle Naturwissenschaft|naturwissenschaftlichen Erkenntnisse durch neue Experimente Falsifizierbarkeit|falsifiziert werden können und daher prinzipiell vorläufig sind, muss für mathematische Erkenntnisse ein streng logischer Beweis (Mathematik)|Beweis gefunden werden, bevor sie als Satz (Mathematik)|mathematischer Satz anerkannt werden. Mathematische Aussagen werden also durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt. In diesem Sinn sind Satz (Mathematik)|mathematische Sätze prinzipiell endgültige und allgemeingültige Wahrheiten, so dass Mathematik als die exakte Wissenschaft betrachtet werden kann. Gerade diese Exaktheit ist für viele Menschen das Faszinierende an der Mathematik.

Anwendungsgebiete

Image:Ars Conjectandi of Jakob Bernoulli, 1713 (1160x1130).png|thumb|left|220px|[[Jakob I. Bernoulli|Jakob Bernoulli: Ars Conjectandi (1713)]] Die Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend Formalisierung|formalisiert sind. Daraus ergibt sich ein enges Wechselspiel mit Anwendungen in empirischen Wissenschaften. Über viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik Anregungen aus der , der Geodäsie, der und der Ökonomie aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer bereitgestellt. Beispielsweise hat Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt, um das physikalische Konzept "Kraft gleich Impulsänderung" mathematisch zu fassen; Fourier hat beim Studium der Wellengleichung die Grundlage für den modernen Funktion (Mathematik)|Funktionsbegriff gelegt; Gauß hat im Rahmen der Hannoverschen Landesvermessung die Methode der kleinsten Fehlerquadrate entwickelt und das Lösen von linearen Gleichungen systematisiert.

Umgekehrt haben Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt, die erst später überraschende praktische Anwendungen gefunden haben wie die Boolesche Algebra in der Digitaltechnik oder der elektrischen Steuerungstechnik für Maschinen und Anlagen. Ein weiteres Beispiel ist das Differentialform|Differentialformenkalkül in der Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie. Ferner galt lange Zeit die Beschäftigung mit der Zahlentheorie als reine intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen, ohne sie wären heute allerdings die moderne Kryptographie und ihre vielfältigen Anwendungen im Internet nicht denkbar.

Siehe auch den Artikel Angewandte Mathematik.

Fortschreiten durch Problemlösen

Image:Newton-Principia-Mathematica_1-500x700.jpg|thumb|right|220px|[[Isaac Newton: Principia Mathematica (Frontispiz)]] Kennzeichnend für die Mathematik ist weiterhin die Weise, wie sie durch das Bearbeiten von "eigentlich zu schweren" Problemen voranschreitet.

Sobald ein Grundschüler das Addieren natürlicher Zahlen gelernt hat, ist er in der Lage, folgende Frage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: "Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten?". Die systematische Lösung solcher Aufgaben aber erfordert die Einführung eines neuen Konzepts: der Subtraktion. Die Frage lässt sich dann umformulieren zu: "Was ist 5 minus 3?". Sobald aber die Subtraktion definiert ist, kann man auch die Frage stellen: "Was ist 3 minus 5?", die auf eine negative Zahl und damit bereits über die Grundschulmathematik hinausführt.

Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte der Mathematik|Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung weitaus anspruchsvollere Mittel nötig sind. Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: so konnten mit der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren.

Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathematik voranbringen: so ist aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden.

Axiomatische Formulierung

Image:Title page of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg|thumb|left|220px|Sir Henry Billingsleys erste englische Ausgabe der "Elemente" von [[Euklid (1570)]] Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der , wird die Mathematik in Form von Theorien präsentiert, die mit Aussagen beginnen, welche als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet. Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten Schlussregeln. Die Aussagen, mit denen die Theorie anfängt, nennt man Axiome, die daraus hergeleiteten nennt man Satz (Mathematik)|Sätze. Die Herleitung selbst ist ein Beweis (Mathematik)|Beweis des Satzes. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als axiomatische Theorien.

Im allgemeinen verlangt man dabei von Axiomen einer Theorie, dass diese widerspruchsfrei sind, also dass nicht gleichzeitig ein Satz und die Negation dieses Satzes wahr ist. Diese Widerspruchsfreiheit selber lässt sich aber nicht innerhalb einer mathematischen Theorie beweisen. Dies hat zur Folge, dass es immer noch nicht geklärt ist, ob die Mengenlehre, und damit die ganze Mathematik, widerspruchsfrei ist. Es gab schonmal Anfang des 20. Jhdt. Widersprüche in der damaligen Mengenlehre, welche erst durch Zermelo und Fraenkel beseitigt werden konnten. (Russellsche Antinomie)

Die von diesen Theorien behandelten Gegenstände sind abstrakte mathematische Strukturen, die ebenfalls durch Axiome definiert werden. Während in den anderen Wissenschaft|Wissenschaften die behandelten Gegenstände vorgegeben sind und danach die Methoden zur Untersuchung dieser Gegenstände geschaffen werden, ist bei der Mathematik umgekehrt die Methode vorgegeben und die damit untersuchbaren Gegenstände werden erst danach erschaffen. In dieser Weise nimmt und nahm die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaft|Wissenschaften ein.

Die Weiterentwicklung der Mathematik geschah und geschieht dagegen oft durch Sammlungen von Sätzen, Beweisen und Definitionen, die nicht axiomatisch strukturiert sind, sondern vor allem durch die Intuition und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprägt sind. Die Umwandlung in eine axiomatische Theorie erfolgt erst später, wenn weitere Mathematiker sich mit den dann nicht mehr ganz so neuen Ideen beschäftigen.

Allerdings sind der Axiomatisierung der Mathematik auch Grenzen gesetzt, Kurt Gödel zeigte um 1930 in dem nach ihm benannten Gödelscher Unvollständigkeitssatz|Unvollständigkeitssatz, dass es wahre Aussagen in jedem mathematischen Axiomensystem gibt, die nicht innerhalb dieses Systems bewiesen werden können. Weitere Ergebnisse zur prinzipiellen Berechenbarkeit und zur prinzipiellen Entscheidbarkeit mathematischer Sätze wurden von Gregory Chaitin gefunden.

Mathematik als menschliche Tätigkeit

Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen. siehe auch: Phylogenese mathematischer Fähigkeiten

Mathematik als Schulfach

Mathematik spielt in der Schule eine zentrale Rolle. Die für die Schule relevanten Inhalte werden in Mathematik in der Schule ausführlich behandelt. Mathematikdidaktik ist die Wissenschaft, die sich mit dem Unterrichten von Mathematik beschäftigt.

Mathematik als Studienfach und Beruf

Traditionell ist der älteste mathematische Beruf das Lehramt an höheren Schulen und Hochschulen.

Menschen, die sich beruflich mit der Entwicklung und der Anwendung der Mathematik beschäftigen, nennt man Mathematiker.

Neben dem Diplommathematikstudium, in dem man seine Schwerpunkte auf die reine und/oder angewandte Mathematik setzen kann, sind neuerdings die spezialisierten Studiengänge Technomathematik, Wirtschaftsmathematik und Computermathematik eingerichtet worden.

Geschichte

Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in der , in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des »rein logischen Beweisens« und die erste Axiomatisierung, nämlich die Euklid|euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. Die Entwicklung in der Neuzeit ist erst durch die Naturwissenschaften (ab 1600), dann sehr stark durch den innermathematischen Prozess der Axiomatisierung (ab etwa 1850) und schließlich die Entwicklung der technik (ab 1930) bestimmt worden.

Für ausführlichere Informationen siehe den Artikel Geschichte der Mathematik.

Zitate

  • Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater. Albert Einstein
  • Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner. Jakob I. Bernoulli
  • Erstaunlich und entzückend ist die Macht zwingender Beweise, und so sind allein die mathematischen geartet. Galileo Galilei
  • Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. Bertrand Russell

Literatur

  • Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: Geschichte der Mathematik. DE: ISBN 3-486-11595-2 Ö: ISBN 3-209-02212-7
  • Richard Courant, Herbert Robbins: Was ist Mathematik?. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000 ISBN 354063777X
  • Glaeser, Georg: Der Mathematische Werkzeugkasten. Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag, 2004. ISBN 3-8274-1485-7.

Weblinks


Kategorie:Mathematik Kategorie:Wissenschaft

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