Lexikon: Raumwinkel

 

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Ein Raumwinkel ist ein Begriff in der des 3-dimensionalen Raumes.

Formelzeichen: Ω
SI-Einheit: sr ()

Definition

Unter einem Raumwinkel versteht man den Quotienten aus dem Flächeninhalt eines Teilstücks einer Kugeloberfläche S und dem Quadrat des zugehörigen Kugelradius r:

\Omega = \frac{S}{r^2}

Vergleich zum Winkel in der Ebene

Der Raumwinkel ist damit dem normalen Winkel im Bogenmaß angelehnt. Der Kreis entspricht hier der Kugel. Das Bogenstück auf dem Kreis entspricht dem Flächenstück auf der Kugel. Da es sich hier um Flächen handelt, geht der Radius jedoch quadratisch ein.

Die Einheit des Raumwinkels

Der Raumwinkel hat die Einheit sr. Er ist – genauso wie der Winkel in der Ebene – eine Verhältnisgröße. Somit bestünde prinzipiell die Möglichkeit, die Einheiten zu kürzen und den Quotienten sr = m²/m² durch 1 zu ersetzen. Um zu vermeiden, dass verschiedenartige Größen gleichbenannte Einheiten erhalten, wird diese Kürzung jedoch nicht vorgenommen. In der Lichttechnik wird der Raumwinkel deshalb allgemein auch nicht als abgeleitete SI-Einheit betrachtet, sondern als Basis-SI-Einheit. Somit ergeben sich z. B. für Lichtstärke (Photometrie)|Lichtstärke und Lichtstrom verschiedene Einheiten.

Veranschaulichung

Folgendes Bild veranschaulicht die Situation:

Bild: Sterad.png

Anders als das Bild vielleicht vermuten ließe, spielt die Umrissform des Flächenstücks keine Rolle. Jede Umrissform auf der Kugeloberfläche mit dem gleichen Flächeninhalt definiert einen Raumwinkel der gleichen Größe. Legt man durch jeden Punkt der Umrissform eine Halbgerade (auch Strahl genannt) mit dem Mittelpunkt der Kugel als Startpunkt, dann erhält man eine geometrische Figur, die den Raumwinkel veranschaulicht. (Dies ist vergleichbar mit der Darstellung für einen Winkel in der Ebene: Zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Startpunkt.)

Der volle Raumwinkel

Da die ganze Kugeloberfläche den Flächeninhalt S = 4 \pi r^2 besitzt, ist der zugehörige volle Raumwinkel

\Omega = \frac{S}{r^2} = \frac{4 \pi r^2}{r^2} = 4 \pi \mathrm{sr} \approx 12{,}57\ \mathrm{sr}

Unabhängigkeit vom Kugelradius

Betrachtet man zwei konzentrische Kugeln mit den Radien r_1 und r_2, und ein Flächenstück S auf der ersten Kugel. Man nehme nun alle Strahlen aus dem Mittelpunkt der Kugeln durch S.

Die Schnittpunkte der Strahlen mit der zweiten Kugel bilden eine Fläche S'. Deren Fläche beträgt dann das (\frac{r_2}{r_1})^2-fache von S, da alle Abmessungen im Verhältnis \frac{r_2}{r_1} verändert wurden. Der Raumwinkel bleibt aber unverändert und damit unabhängig vom Kugelradius.

Kanonischer Raumwinkel

Wählt man als Umrißform einen Kreis, so erhält man den kanonischen Raumwinkel. Der Raumwinkel bildet dann einen Kegel (Geometrie)|Kegel, in dessen Spitze der Mittelpunkt der Kugel liegt.

Bei einem gegebenen Öffnungswinkel \omega des Kegels berechnet sich der Raumwinkel zu

\Omega = 2 \pi \left(1-\cos\frac{\omega}{2}\right) = 4 \pi \sin^2 \frac{\omega}{4}

Man sieht, dass der Vollwinkel, das heißt alle Raumrichtungen per \omega = 2 Ï€, dem vollen Raumwinkel von 4 Ï€ entspricht.

Zusammenhang zwischen Raumwinkel und Polarkoordinaten

Ein Punkt in der Ebene lässt sich in Polarkoordinaten durch (Flächen-)Winkel und Radius gegeben. Auch im Raum gibt es ein solches Koordinatensystem. Der Raumwinkel ist dafür jedoch nicht ausreichend. Neben dem Radius sind immer die zwei Flächenwinkel Meridianwinkel φ und Breitenwinkel γ nötig. Allerdings besteht ein Zusammenhang zwischen dem Raumwinkel Ω und den beiden Winkeln der Raumpolarkoordinaten:

\Omega = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int_{\gamma_1}^{\gamma_2} \sin \gamma \, \mathrm{d}\gamma \, \mathrm{d}\varphi Bild: Raumwinkel_und_Polarkoordinaten.GIF


Kategorie:Geometrie

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